Lois de probabilités

Cette série regroupe les principales lois de probabilités utilisées en statistiques et en data science.

L’objectif est de retenir leurs formules, de savoir reconnaître la situation probabiliste, choisir une loi adaptée et interpréter correctement ses paramètres.

Chaque fiche présente notamment :

• l’expérience aléatoire modélisée ;
• les paramètres de la loi ;
• son support ;
• sa fonction de masse ou sa densité de probabilité ;
• sa fonction de répartition ;
• son espérance et sa variance ;
• des exemples concrets ;
• les situations dans lesquelles l’utiliser — ou ne pas l’utiliser ;
• ses relations avec les autres lois ;
• ses principales approximations.

🧭 Fondamentaux

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Avant d’étudier les différentes lois, quelques notions permettent de comprendre comment elles sont construites et comment les manipuler.

🎲 Variables aléatoires

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• Variable aléatoire discrète et continue
• Support d’une variable aléatoire
• Fonction de masse, densité et fonction de répartition
• Espérance, variance et écart-type
• Moments d’une variable aléatoire
• Variables aléatoires indépendantes
• Covariance et corrélation

🗺️ Choisir une loi de probabilité

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• Carte des principales lois de probabilités
• Identifier l’expérience aléatoire
• Discret ou continu ?
• Compter des succès, des événements ou un temps d’attente ?
• Comprendre les paramètres d’une distribution

🔢 Lois de probabilités discrètes

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Les lois discrètes modélisent des variables aléatoires prenant un ensemble dénombrable de valeurs, souvent issues d’un comptage.

🎯 Succès et échecs

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• Loi de Bernoulli un essai, deux issues possibles

• Loi binomiale nombre de succès parmi un nombre fixé d’essais indépendants

• Loi géométrique nombre d’essais nécessaires avant le premier succès

• Loi binomiale négative nombre d’essais nécessaires avant plusieurs succès

🔢 Comptage d’événements

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• Loi de Poisson nombre d’événements observés dans un intervalle donné

🃏 Tirages sans remise

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• Loi hypergéométrique nombre de succès lors d’un échantillonnage sans remise

📚 Autres lois discrètes

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• Loi uniforme discrète toutes les valeurs possibles ont la même probabilité

• Loi multinomiale généralisation de la loi binomiale à plusieurs catégories

• Loi de Benford distribution particulière des premiers chiffres dans certains jeux de données

📈 Lois de probabilités continues

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Les lois continues modélisent des variables pouvant prendre une infinité de valeurs sur un intervalle.

📏 Lois fondamentales

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• Loi uniforme continue toutes les valeurs d’un intervalle ont la même densité

• Loi normale distribution symétrique fondamentale en statistique

⏱️ Temps d’attente et durée

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• Loi exponentielle temps d’attente avant un événement

• Loi Gamma temps d’attente avant plusieurs événements

• Loi de Weibull durées de vie, fiabilité et analyse de survie

📊 Proportions et probabilités

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• Loi Beta variables comprises entre 0 et 1, probabilités et proportions

📐 Lois utilisées en inférence statistique

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• Loi du χ² variances et tests sur des variables catégorielles

• Loi de Student estimation et tests sur une moyenne lorsque la variance est inconnue

• Loi de Fisher comparaison de variances et analyse de la variance

🔗 Relations entre les lois

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Les distributions ne sont pas indépendantes les unes des autres. Comprendre leurs relations permet souvent de retrouver leurs propriétés plutôt que de les apprendre par cœur.

🌳 Familles de distributions

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• Bernoulli → Binomiale
• Bernoulli → Géométrique → Binomiale négative
• Poisson ↔ Exponentielle
• Exponentielle → Gamma
• Binomiale ↔ Beta
• Normale → χ² → Student → Fisher

🔄 Approximations

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• Approximation de la binomiale par une loi de Poisson
• Approximation de la binomiale par une loi normale
• Approximation de la loi de Poisson par une loi normale
• Correction de continuité

🧠 Résultats fondamentaux

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Ces résultats expliquent pourquoi les lois de probabilités peuvent être utilisées pour faire de l’inférence statistique à partir d’échantillons.

📚 Convergence et échantillonnage

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• Loi des grands nombres
• Théorème central limite
• Distribution d’échantillonnage
• Erreur standard
• Inégalité de Markov
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

🧪 De la probabilité à la statistique

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Les distributions deviennent particulièrement utiles lorsqu’elles permettent de quantifier l’incertitude à partir d’un échantillon.

🎯 Estimation

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• Estimateur et estimation
• Biais et variance d’un estimateur
• Maximum de vraisemblance
• Intervalle de confiance
• Bootstrap

🧪 Tests statistiques

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• Principe d’un test d’hypothèse
• Hypothèse nulle et hypothèse alternative
• p-value et niveau de significativité
• Erreurs de type I et II
• Puissance statistique
• Z-test
• Test de Student
• Test du χ²
• Test de Fisher

🔎 Aide au choix

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Quelques questions permettent souvent d’identifier rapidement une distribution adaptée :

📚 Pour aller plus loin

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• Joseph K. Blitzstein & Jessica Hwang — Introduction to Probability
• Larry Wasserman — All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference
• Sheldon Ross — A First Course in Probability