Loi de Bernoulli

La loi de Bernoulli modélise une expérience aléatoire qui ne possède que deux issues possibles : un succès ou un échec.

Question type : une expérience est réalisée une fois. Quelle est la probabilité d’obtenir un succès ?

Exemples : un utilisateur clique ou non sur une publicité, une pièce produite est défectueuse ou non, un patient répond ou non à un traitement.

🎯 Définition

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On considère une expérience aléatoire ayant deux issues :

• succès, codé \(X=1\), avec une probabilité \(p\) ;
• échec, codé \(X=0\), avec une probabilité \(1-p\).

La variable aléatoire \(X\) suit alors une loi de Bernoulli de paramètre \(p\) :

\[ X \sim \mathcal{B}(p) \]

avec :

\[ p \in [0,1] \]

Le paramètre \(p\) représente donc simplement la probabilité de succès.

📐 Fonction de masse

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La fonction de masse donne la probabilité associée à chacune des valeurs possibles de \(X\) :

\[ P(X=1)=p \]

\[ P(X=0)=1-p \]

Ces deux expressions peuvent être regroupées en une seule formule :

\[ P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}, \qquad x\in{0,1} \]

En effet :

• pour \(x=1\) : \(P(X=1)=p\) ;
• pour \(x=0\) : \(P(X=0)=1-p\).

📊 Espérance et variance

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Espérance

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\[ \mathbb{E}[X]=p \]

L’espérance d’une variable de Bernoulli correspond directement à sa probabilité de succès.

Par exemple, si :

\[ X \sim \mathcal{B}(0.3) \]

alors :

\[ \mathbb{E}[X]=0.3 \]

Cela ne signifie évidemment pas qu’une réalisation de \(X\) peut valoir \(0.3\) : elle vaut toujours 0 ou 1.

Sur un grand nombre d’expériences indépendantes, la moyenne des réalisations tend en revanche vers \(0.3\).

Variance

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\[ \operatorname{Var}(X)=p(1-p) \]

et donc :

\[ \sigma_X=\sqrt{p(1-p)} \]

La variance est maximale lorsque \(p=0.5\) et diminue lorsque \(p\) se rapproche de 0 ou de 1.

💡 Exemple

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On considère un modèle de détection de fraude.

Pour une transaction donnée, on définit :

\[ X = \begin{cases} 1 & \text{si la transaction est frauduleuse} \ 0 & \text{sinon} \end{cases} \]

Si une transaction a une probabilité de fraude de 2 % :

\[ X \sim \mathcal{B}(0.02) \]

On obtient :

\[ P(X=1)=0.02 \]

\[ P(X=0)=0.98 \]

ainsi que :

\[ \mathbb{E}[X]=0.02 \]

et :

\[ \operatorname{Var}(X)=0.02\times0.98=0.0196 \]

✅ Quand utiliser une loi de Bernoulli ?

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La loi de Bernoulli est adaptée lorsque :

• une seule expérience est considérée ;
• il existe exactement deux issues ;
• ces issues peuvent être codées par 0 et 1 ;
• la probabilité de succès est \(p\).

Le terme succès est purement conventionnel : il ne signifie pas nécessairement quelque chose de positif.

Une panne, une fraude ou un défaut peuvent parfaitement être définis comme le « succès » de l’expérience.

⚠️ Quand ne pas l’utiliser ?

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La loi de Bernoulli ne convient pas directement lorsque :

• l’expérience possède plus de deux issues ;
• on cherche le nombre de succès sur plusieurs essais ;
• on cherche le nombre d’essais avant un succès ;
• la variable étudiée est continue.

Ces situations conduisent à d’autres lois de probabilités.

🔗 Relations avec les autres lois

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Bernoulli → Binomiale

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Si l’on répète \(n\) expériences de Bernoulli indépendantes, ayant toutes la même probabilité de succès \(p\) :

\[ X_1,\ldots,X_n \sim \mathcal{B}(p) \]

alors leur somme :

\[ S_n=X_1+\cdots+X_n \]

représente le nombre de succès parmi les \(n\) essais et suit une loi binomiale :

\[ S_n\sim\mathcal{B}(n,p) \]

La loi de Bernoulli peut donc être vue comme le cas particulier d’une loi binomiale avec \(n=1\).

Bernoulli → Géométrique

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Si l’on répète des expériences de Bernoulli indépendantes jusqu’à obtenir le premier succès, le nombre d’essais nécessaires suit une loi géométrique.

Bernoulli → Binomiale négative

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Si l’on répète les expériences jusqu’à obtenir plusieurs succès, on arrive à la loi binomiale négative.

🐍 En Python

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Avec SciPy :

from scipy.stats import bernoulli

p = 0.3

distribution = bernoulli(p)

print(distribution.pmf(1))   # P(X = 1)
print(distribution.pmf(0))   # P(X = 0)
print(distribution.mean())   # Espérance
print(distribution.var())    # Variance

On peut également simuler des réalisations :

sample = bernoulli.rvs(p=0.3, size=1000)

Chaque valeur générée vaut alors 0 ou 1.

🧠 À retenir

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Réflexe : une seule expérience, deux issues possibles → penser Bernoulli.