La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de \(n\) expériences de Bernoulli indépendantes, ayant toutes la même probabilité de succès \(p\).
Question type : une expérience succès/échec est répétée \(n\) fois. Combien de succès va-t-on obtenir ?
Exemples : nombre de clients qui achètent parmi 100 visiteurs, nombre de pièces défectueuses dans un échantillon, nombre de réponses correctes à un QCM.
🎯 Définition#
On réalise \(n\) expériences de Bernoulli indépendantes.
Pour chaque expérience :
- succès, avec une probabilité \(p\) ;
- échec, avec une probabilité \(1-p\).
Si \(X\) représente le nombre total de succès parmi ces \(n\) expériences, alors :
\[ X \sim \operatorname{Bin}(n,p) \]
avec :
\[ n \in \mathbb{N} \qquad\text{et}\qquad p \in [0,1] \]
Les paramètres sont donc :
- \(n\) : nombre d’essais ;
- \(p\) : probabilité de succès à chaque essai.
Le support de \(X\) est :
\[ X \in {0,1,\ldots,n} \]
📐 Fonction de masse#
La probabilité d’obtenir exactement \(k\) succès parmi \(n\) essais est :
\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
avec :
\[ k\in{0,\ldots,n} \]
et :
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Cette formule peut se comprendre en trois parties :
\[ \underbrace{\binom{n}{k}}{\text{nombre de configurations}} \underbrace{p^k}{\text{\(k\) succès}} \underbrace{(1-p)^{n-k}}_{\text{\(n-k\) échecs}} \]
Pourquoi le coefficient binomial ?#
Supposons que l’on réalise 3 essais et que l’on souhaite obtenir exactement 2 succès.
Les configurations possibles sont :
\[ SSE,\quad SES,\quad ESS \]
Chacune possède la même probabilité :
\[ p^2(1-p) \]
Il existe :
\[ \binom{3}{2}=3 \]
configurations différentes.
Par conséquent :
\[ P(X=2) = 3p^2(1-p) \]
📊 Espérance et variance#
Espérance#
\[ \mathbb{E}[X]=np \]
L’espérance représente le nombre moyen de succès attendu sur \(n\) essais.
Par exemple, si :
\[ X\sim\operatorname{Bin}(100,0.2) \]
alors :
\[ \mathbb{E}[X] = 100\times0.2 = 20 \]
Sur un grand nombre de séries de 100 essais, on observera donc en moyenne 20 succès par série.
Variance#
\[ \operatorname{Var}(X)=np(1-p) \]
et donc :
\[ \sigma_X=\sqrt{np(1-p)} \]
Pour :
\[ X\sim\operatorname{Bin}(100,0.2) \]
on obtient :
\[ \operatorname{Var}(X) = 100\times0.2\times0.8 = 16 \]
et :
\[ \sigma_X=4 \]
💡 Exemple#
Un site e-commerce possède un taux de conversion de 5 %.
On observe 20 visiteurs et on suppose que :
- chaque visiteur achète ou n’achète pas ;
- la probabilité d’achat est \(p=0.05\) ;
- les décisions des visiteurs sont indépendantes.
On définit \(X\) comme le nombre d’acheteurs parmi les 20 visiteurs.
Alors :
\[ X\sim\operatorname{Bin}(20,0.05) \]
Probabilité d’obtenir exactement 2 acheteurs#
\[ P(X=2) = \binom{20}{2} (0.05)^2 (0.95)^{18} \]
soit environ :
\[ P(X=2)\approx0.189 \]
Il y a donc environ 18,9 % de probabilité d’observer exactement deux acheteurs parmi les 20 visiteurs.
Nombre moyen d’acheteurs#
\[ \mathbb{E}[X] = 20\times0.05 = 1 \]
Cela ne signifie pas que chaque groupe de 20 visiteurs produira exactement un achat.
Cela signifie que, si l’expérience est répétée un grand nombre de fois, le nombre moyen d’acheteurs par groupe de 20 visiteurs tendra vers 1.
🔎 Exactement, au moins, au plus#
Une difficulté fréquente avec la loi binomiale consiste à traduire correctement la question en probabilités.
Exactement \(k\)#
\[ P(X=k) \]
Au plus \(k\)#
\[ P(X\leq k) \]
ce qui correspond à :
\[ P(X\leq k) = \sum_{i=0}^{k}P(X=i) \]
Au moins \(k\)#
\[ P(X\geq k) \]
Il est souvent plus simple d’utiliser le complément :
\[ P(X\geq k) = 1-P(X\leq k-1) \]
Par exemple :
\[ P(X\geq1) = 1-P(X=0) \]
Cette relation est particulièrement pratique pour calculer la probabilité d’obtenir au moins un succès.
✅ Quand utiliser une loi binomiale ?#
La loi binomiale est adaptée lorsque quatre conditions sont réunies :
- le nombre d’essais \(n\) est fixé à l’avance ;
- chaque essai possède exactement deux issues ;
- la probabilité de succès \(p\) est identique à chaque essai ;
- les essais sont indépendants.
On cherche alors à compter le nombre de succès parmi les \(n\) essais.
⚠️ Quand ne pas l’utiliser ?#
La loi binomiale ne convient pas directement lorsque :
- la probabilité \(p\) change d’un essai à l’autre ;
- les essais ne sont pas indépendants ;
- le nombre d’essais n’est pas fixé ;
- on cherche le nombre d’essais nécessaires avant un succès ;
- on effectue des tirages sans remise dans une population finie lorsque la dépendance entre les tirages n’est pas négligeable.
Dans ce dernier cas, la loi hypergéométrique est généralement plus adaptée.
Exemple : tirage sans remise#
On possède une urne contenant 100 objets, dont 20 rouges.
Si l’on tire 50 objets sans remise, la probabilité d’obtenir un objet rouge évolue après chaque tirage.
Les essais ne sont donc pas indépendants.
La loi binomiale n’est alors pas le modèle exact : on utilisera plutôt une loi hypergéométrique.
🔗 Relations avec les autres lois#
Bernoulli → Binomiale#
La loi binomiale est directement construite à partir de la loi de Bernoulli.
Si :
\[ X_1,\ldots,X_n \]
sont des variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre \(p\) :
\[ X_i\sim\operatorname{Bernoulli}(p) \]
alors :
\[ X=X_1+\cdots+X_n \]
suit une loi binomiale :
\[ X\sim\operatorname{Bin}(n,p) \]
Autrement dit :
Bernoulli compte le résultat d’un essai ; binomiale compte les succès sur plusieurs essais.
Binomiale → Bernoulli#
La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale avec :
\[ n=1 \]
Ainsi :
\[ \operatorname{Bin}(1,p) = \operatorname{Bernoulli}(p) \]
Binomiale → Poisson#
Lorsque :
- \(n\) est grand ;
- \(p\) est petit ;
- \(\lambda=np\) reste de taille raisonnable ;
la loi binomiale peut être approximée par une loi de Poisson :
\[ \operatorname{Bin}(n,p) \approx \operatorname{Poisson}(\lambda) \]
avec :
\[ \lambda=np \]
Cette approximation est notamment utile pour modéliser des événements rares.
Binomiale → Normale#
Lorsque \(n\) est suffisamment grand et que la distribution n’est pas trop proche des extrêmes, une loi binomiale peut également être approximée par une loi normale :
\[ X \approx \mathcal{N} \left( np,, np(1-p) \right) \]
Une règle pratique courante consiste à vérifier que :
\[ np \geq 5 \qquad\text{et}\qquad n(1-p)\geq5 \]
Les seuils exacts restent toutefois des règles heuristiques, et une correction de continuité peut être nécessaire pour améliorer l’approximation.
🐍 En Python#
Avec SciPy :
from scipy.stats import binom
n = 20
p = 0.05
distribution = binom(n=n, p=p)
print(distribution.pmf(2)) # P(X = 2)
print(distribution.cdf(2)) # P(X <= 2)
print(distribution.mean()) # Espérance
print(distribution.var()) # VariancePour calculer la probabilité d’obtenir au moins 2 succès :
probability = distribution.sf(1)
print(probability)La fonction sf, pour survival function, correspond à :
\[ P(X>x) \]
et permet ici d’éviter de calculer manuellement :
\[ 1-P(X\leq1) \]
On peut également simuler plusieurs réalisations :
sample = binom.rvs(n=20, p=0.05, size=1000)Chaque valeur correspond alors au nombre de succès obtenu parmi 20 essais.
🧠 À retenir#
| Propriété | Loi binomiale |
|---|---|
| Type | Discrète |
| Expérience | \(n\) essais succès / échec |
| Variable étudiée | Nombre de succès |
| Valeurs possibles | \(0,\ldots,n\) |
| Paramètres | \(n,p\) |
| Fonction de masse | \(\displaystyle \binom nk p^k(1-p)^{n-k}\) |
| Espérance | \(np\) |
| Variance | \(np(1-p)\) |
| Cas particulier | Bernoulli pour \(n=1\) |
| Approximation événements rares | Poisson |
| Approximation pour grand \(n\) | Normale |
Réflexe : \(n\) essais indépendants, deux issues, même probabilité \(p\), et on compte les succès → penser loi binomiale.
