La loi géométrique modélise le nombre d’essais de Bernoulli indépendants nécessaires pour obtenir un premier succès, lorsque chaque essai possède la même probabilité de succès \(p\).
Question type : une expérience succès/échec est répétée jusqu’à obtenir un succès. Combien d’essais faudra-t-il réaliser ?
Exemples : nombre de lancers nécessaires avant d’obtenir un 6, nombre d’appels avant qu’un client accepte une offre, nombre de tentatives avant qu’une opération réussisse.
🎯 Définition#
On répète des expériences de Bernoulli indépendantes ayant toutes :
- une probabilité de succès \(p\) ;
- une probabilité d’échec \(1-p\).
On arrête l’expérience dès que le premier succès est obtenu.
Si \(X\) représente le nombre d’essais nécessaires jusqu’au premier succès inclus, alors :
\[ X \sim \operatorname{Geom}(p) \]
avec :
\[ p \in (0,1] \]
Le support de \(X\) est :
\[ X \in {1,2,3,\ldots} \]
Contrairement à la loi binomiale, le nombre d’essais n’est donc pas fixé à l’avance.
⚠️ Deux conventions existent#
La loi géométrique possède deux conventions courantes.
Nombre d’essais jusqu’au premier succès#
C’est la convention utilisée dans cette fiche :
\[ X \in {1,2,3,\ldots} \]
Si le premier essai est un succès :
\[ X=1 \]
Nombre d’échecs avant le premier succès#
Certaines définitions comptent uniquement les échecs précédant le succès :
\[ Y \in {0,1,2,\ldots} \]
Si le premier essai est immédiatement un succès :
\[ Y=0 \]
Les deux variables sont simplement reliées par :
\[ X=Y+1 \]
Réflexe : toujours vérifier quelle convention est utilisée avant d’appliquer une formule ou une fonction d’une bibliothèque.
📐 Fonction de masse#
Pour obtenir le premier succès exactement au \(k\)-ième essai, il faut :
- échouer lors des \(k-1\) premiers essais ;
- réussir lors du \(k\)-ième essai.
La probabilité correspondante est donc :
\[ P(X=k) = (1-p)^{k-1}p \]
avec :
\[ k\in{1,2,3,\ldots} \]
La formule peut se lire directement :
\[ \underbrace{(1-p)^{k-1}}{\text{\(k-1\) échecs}} \underbrace{p}{\text{premier succès}} \]
Par exemple :
\[ P(X=3) = (1-p)^2p \]
correspond à la séquence :
\[ E,\ E,\ S \]
📉 Fonction de répartition#
La fonction de répartition donne :
\[ P(X\leq k) \]
c’est-à-dire la probabilité d’avoir obtenu au moins un succès au cours des \(k\) premiers essais.
Le complément correspond à n’avoir obtenu aucun succès :
\[ P(X>k) = (1-p)^k \]
Par conséquent :
\[ P(X\leq k) = 1-(1-p)^k \]
Cette relation est particulièrement pratique pour répondre à des questions du type :
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un succès en au plus 10 tentatives ?
📊 Espérance et variance#
Espérance#
Avec la convention utilisée ici :
\[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{p} \]
L’espérance représente le nombre moyen d’essais nécessaires avant d’obtenir le premier succès.
Par exemple, si :
\[ p=0.2 \]
alors :
\[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{0.2} = 5 \]
Il faudra donc en moyenne 5 essais pour obtenir un succès.
Cela ne signifie évidemment pas que le succès apparaîtra systématiquement au cinquième essai.
Variance#
\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} \]
et donc :
\[ \sigma_X = \frac{\sqrt{1-p}}{p} \]
Lorsque \(p\) est faible, le nombre d’essais nécessaires peut varier fortement d’une expérience à l’autre.
💡 Exemple#
Un commercial contacte successivement des prospects.
On suppose que :
- chaque prospect accepte ou refuse l’offre ;
- la probabilité d’acceptation est \(p=0.1\) ;
- les réponses des prospects sont indépendantes ;
- cette probabilité reste constante.
On définit \(X\) comme le nombre de prospects contactés jusqu’à obtenir la première acceptation.
Alors :
\[ X\sim\operatorname{Geom}(0.1) \]
Probabilité que le premier succès arrive au 4e prospect#
Pour que le premier succès arrive exactement au quatrième prospect, il faut obtenir :
\[ E,\ E,\ E,\ S \]
Ainsi :
\[ P(X=4) = (1-0.1)^3\times0.1 \]
\[ P(X=4) = 0.9^3\times0.1 \]
soit :
\[ P(X=4) = 0.0729 \]
Il y a donc 7,29 % de probabilité que la première acceptation arrive exactement au quatrième prospect.
Probabilité d’obtenir un succès en 5 essais maximum#
On cherche :
\[ P(X \leq 5) \]
Le complément consiste à échouer cinq fois consécutivement :
\[ P(X>5) = 0.9^5 \]
Par conséquent :
\[ P(X\leq5) = 1-0.9^5 \]
soit environ :
\[ P(X\leq5) \approx 0.410 \]
Il y a donc environ 41 % de probabilité d’obtenir au moins une acceptation parmi les cinq premiers prospects.
Nombre moyen d’essais#
\[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{0.1} = 10 \]
Il faut donc en moyenne contacter 10 prospects avant d’obtenir une première acceptation.
🧠 Propriété sans mémoire#
La loi géométrique possède une propriété particulière : elle est sans mémoire.
Mathématiquement :
\[ P(X>m+n\mid X>m) = P(X>n) \]
Autrement dit, le fait d’avoir déjà accumulé des échecs ne modifie pas la distribution du nombre d’essais restant à attendre.
Supposons par exemple que :
\[ p=0.1 \]
et que les 20 premiers essais aient tous échoué.
La probabilité de succès au 21e essai reste :
\[ p=0.1 \]
Les 20 échecs précédents ne rendent pas le prochain succès plus probable.
La loi géométrique est la principale loi discrète possédant cette propriété sans mémoire.
✅ Quand utiliser une loi géométrique ?#
La loi géométrique est adaptée lorsque :
- on répète une expérience ayant exactement deux issues ;
- les essais sont indépendants ;
- la probabilité de succès \(p\) reste constante ;
- on répète les essais jusqu’au premier succès ;
- on cherche le nombre d’essais nécessaires.
Le nombre maximal d’essais n’est pas fixé à l’avance.
⚠️ Quand ne pas l’utiliser ?#
La loi géométrique ne convient pas directement lorsque :
- la probabilité de succès change au cours des essais ;
- les essais ne sont pas indépendants ;
- on cherche le nombre de succès sur un nombre fixé d’essais ;
- on attend plusieurs succès plutôt que seulement le premier ;
- le temps étudié est continu plutôt que constitué d’essais discrets.
Ces situations conduisent notamment aux lois binomiale, binomiale négative ou exponentielle.
🔗 Relations avec les autres lois#
Bernoulli → Géométrique#
La loi géométrique repose sur la répétition d’expériences de Bernoulli indépendantes.
Chaque essai suit :
\[ X_i\sim\operatorname{Bernoulli}(p) \]
mais, contrairement à la loi binomiale, on ne fixe pas le nombre d’essais à l’avance.
On continue jusqu’au premier succès.
Binomiale vs Géométrique#
Les deux lois reposent sur les mêmes expériences de Bernoulli, mais répondent à des questions différentes.
Loi binomiale :
On fixe le nombre d’essais. Combien de succès obtient-on ?
\[ n\text{ fixé} \quad\longrightarrow\quad \text{nombre de succès aléatoire} \]
Loi géométrique :
On fixe le nombre de succès recherché à 1. Combien d’essais faut-il ?
\[ 1\text{ succès fixé} \quad\longrightarrow\quad \text{nombre d’essais aléatoire} \]
Géométrique → Binomiale négative#
La loi géométrique mesure le nombre d’essais nécessaires pour obtenir un premier succès.
Si l’on cherche plutôt le nombre d’essais nécessaires pour obtenir \(r\) succès, on obtient une loi binomiale négative.
La loi géométrique peut donc être considérée comme un cas particulier de la loi binomiale négative avec :
\[ r=1 \]
Géométrique ↔ Exponentielle#
La loi géométrique peut également être rapprochée de la loi exponentielle.
Les deux répondent à une question d’attente avant un événement :
- géométrique → attente exprimée en nombre d’essais discrets ;
- exponentielle → attente exprimée par une durée continue.
Toutes les deux possèdent également la propriété sans mémoire.
🐍 En Python#
Avec SciPy :
from scipy.stats import geom
p = 0.1
distribution = geom(p=p)
print(distribution.pmf(4)) # P(X = 4)
print(distribution.cdf(5)) # P(X <= 5)
print(distribution.mean()) # Espérance
print(distribution.var()) # VarianceSciPy utilise la convention :
\[ X\in{1,2,3,\ldots} \]
c’est-à-dire le nombre d’essais jusqu’au premier succès inclus.
Pour calculer la probabilité d’attendre plus de 5 essais :
probability = distribution.sf(5)
print(probability)ce qui correspond à :
\[ P(X>5) \]
On peut également simuler plusieurs expériences :
sample = geom.rvs(p=0.1, size=1000)Chaque valeur indique le nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès.
🧠 À retenir#
| Propriété | Loi géométrique |
|---|---|
| Type | Discrète |
| Expérience | Répétition d’essais succès / échec |
| Arrêt | Premier succès |
| Variable étudiée | Nombre d’essais jusqu’au premier succès |
| Valeurs possibles | \(1,2,3,\ldots\) |
| Paramètre | \(p\) |
| Fonction de masse | \((1-p)^{k-1}p\) |
| Espérance | \(\frac{1}{p}\) |
| Variance | \(\frac{1-p}{p^2}\) |
| Propriété particulière | Sans mémoire |
| Généralisation | Loi binomiale négative |
| Équivalent continu | Loi exponentielle |
Réflexe : essais de Bernoulli indépendants répétés jusqu’au premier succès, et on compte le nombre d’essais → penser loi géométrique.
