Les modèles ARMA et dérivés sont la base historique de la modélisation des séries temporelles. On peut les voir comme une façon structurée de modéliser la dépendance dans le temps.
L’idée générale est simple :
une valeur aujourd’hui dépend du passé… mais pas n’importe comment.
⏱️ 1. Le point de départ : la dépendance temporelle#
Dans une série temporelle, les observations ne sont pas indépendantes.
On observe souvent :
- une corrélation avec le passé (autocorrélation)
- des effets qui se propagent dans le temps
👉 Exemple : si les ventes montent aujourd’hui, elles ont de fortes chances d’être élevées demain.
🔁 2. Modèle AR (AutoRegressive)#
Dans un modèle AR, on explique le présent par le passé.
👉 Forme intuitive :
la valeur à l’instant t dépend des valeurs précédentes
Exemple AR :
- aujourd’hui dépend d’hier
- aujourd’hui dépend d’hier + avant-hier
💡 Lecture :
- on modélise une inertie
- les effets se propagent progressivement
👉 Signature dans les données :
- l’autocorrélation décroît progressivement
- la PACF (fonction d’autocorrélation partielle) coupe à un certain lag
📉 3. Modèle MA (Moving Average)#
Ici, on ne regarde plus les valeurs passées, mais les erreurs passées.
👉 Idée :
la valeur actuelle dépend des chocs récents
Exemple MA(1) :
- aujourd’hui dépend du bruit d’hier
💡 Lecture :
- on modélise des chocs ponctuels
- effet court terme
👉 Signature :
- autocorrélation qui coupe rapidement
- effet limité à quelques lags
⚖️ 4. Modèle ARMA(p, q)#
On combine les deux :
dépendance aux valeurs passées (AR) + dépendance aux chocs passés (MA)
👉 ARMA = modèle “général” pour séries stationnaires
- p = nombre de lags AR
- q = nombre de lags MA
💡 Intuition :
- AR → structure / mémoire
- MA → bruit / ajustement fin
📈 5. Problème : les séries ne sont pas stationnaires#
Dans la vraie vie, les séries ont souvent :
- une tendance
- une saisonnalité
- une variance non constante
Or ARMA suppose une série stationnaire (moyenne et variance constantes dans le temps)
👉 Donc on doit transformer la série.
🔧 6. ARIMA : ajouter la différenciation#
ARIMA = ARMA + différenciation
- I (Integrated) = nombre de différenciations
👉 Objectif :
rendre la série stationnaire avant de modéliser
Concrètement :
- on enlève la tendance
- on stabilise le signal
Exemple :
- ARIMA(1,1,1) = ARMA(1,1) sur une série différenciée une fois
🔁 7. Et la saisonnalité ?#
Quand il y a une structure saisonnière :
👉 SARIMA
- ajoute des composantes saisonnières
- capture les patterns périodiques
Exemple :
- ventes hebdomadaires avec cycle annuel
🔍 8. Comment on choisit le modèle ?#
On utilise :
- ACF → autocorrélation
- PACF → autocorrélation partielle
👉 Le corrélogramme permet :
- d’identifier p (AR)
- d’identifier q (MA)
💡 Raccourci utile :
- PACF qui coupe → AR
- ACF qui coupe → MA
🧪 9. Workflow classique (Box-Jenkins)#
On suit toujours la même logique :
Stationnariser la série
- différenciation
- transformation (log…)
Identifier le modèle
- ACF / PACF
Estimer les paramètres
- MLE / moindres carrés
Diagnostiquer
- résidus ~ bruit blanc
- pas d’autocorrélation restante
⚠️ 10. Limites (important à comprendre)#
Ces modèles sont puissants mais :
supposent une structure linéaire
capturent mal :
- non-linéarités
- ruptures
- interactions complexes
👉 D’où :
- ARCH / GARCH → volatilité
- VAR → multivarié
- méthodes ML → plus flexibles
🧩 À retenir#
- ARMA est la base des modèles temporels
- AR = dépendance aux valeurs passées
- MA = dépendance aux erreurs passées
- ARIMA = gestion de la non-stationnarité
- tout repose sur la structure d’autocorrélation
